Du betrachtest den Fall nicht ganzheitlich.
Ich merke, es nagt an Dir, dann helfe ich gerne etwas, für die anderen:
[Mathe_Gefahr
]
Das Auszählen (Laplace, günstige/mögliche Fälle) ist zwar grundsätzlich der elementare Weg, aber man verzählt sich leicht, so auch hier.
Solche Wahrscheinlichkeiten rechnet man daher bevorzugt über die Binominalverteilung, was zwar theoretisch am Ende auf das Zählen von Fällen hinausläuft, nur bekommst Du bei Deinen 198 Fällen Probleme, die
Mehrheitsentscheidung (Logikformel s.u.) korrekt abzubilden, man entscheidet durchaus das eine mal ja und das andere mal nein, sodass weitere richtige Fälle hinzukommen.
Die Fornel für die Wahrscheinlichkeit p_k für k günstige von n Fällen mit günstiger Wahrscheinlichkeit p lautet:
(n über k) * p hoch k * (1-p) hoch (n-k)
Warum: Das Produkt von zwei Wahrscheinlichkeiten p1 und p2 bedeutet, dass beide Fälle zusammen eintreten. Einmal die Münze Kopf ist 0,5, dann zweimal hintereinander 0,5*0,5 = 0,25. Aber Achtung: Das ist eine Sequenz, die nur einmal zutrifft, mehr kommt gleich.
Zuächst ist p hoch k, hier Potenz-hoch, genau das Produkt für die "günstigen" Fälle, also Sensor gut oder schlecht je nach Definition des p. Das reicht aber bei n Versuchen nicht, denn es heißt ja "
und die anderen nicht". Nicht ist die Wahrscheinlichkeit (1-p), also das, was übrig bleibt. Das ganze dann auch eben der Rest hoch, also (n-k).
Jetzt kommt aber der Haken: Es gibt ja nicht nur bei zwei aus drei gut/gut/schlecht, sondern auch gut/schlecht/gut und schlecht/gut/gut. All die haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, nur müssen sie summiert werden, dazu muss man wissen, wie viele es sind. Das rechnet (n über k) aus, eine erstmal wilde Formel ( n! / ((n-k)! * k! ), mit k! = k Fakultät gleich Produkt 1 * 2 * 3... bis k ( Es gibt übrigens auch eine Integraldarstellung für die ganz Harten
). Warum: Lottozahlenprinzip: Erste Kugel 49, zweite 48 mögliche usw., nur zählen alle Vertauschungen gleich und daher muss durch 6! (mögliche Vertauschungen, genannt Permutationen) geteilt werden.
So kommt die Formel zustande, die ist auch allgemein anerkannt, mit dem Binominalsatz hat das nur insofern etwas zu tun, dass interessanterweise die Koeffizienten für die (a+b) hoch n Darstellung das Pascalsche Dreieck ergeben, und das wiederum läßt sich aus (n über k) auch darstellen. Daher der leicht irreführende Name Binominalverteilung.
Zu den Sensoren:
Die Formel ergibt nur jeweils eine (reihenfolgeneutralisierte) Form, also gut/gut/gut oder gut/gut/schlecht, mehrfach rechnen und addieren darf man selber. Da die Fälle klar unabhängig sind, gleichzeitig gut und schlecht geht nicht, darf man auch die Wahrscheinlichkeiten addieren.
Bei zwei Sensoren ist es einfach: Nur gut/gut taugt. Kann man mit der Formel rechnen, kommt aber (probiere es) genau das Produkt p*p raus, also bei p = 0,99 eben 0,9801 für ordentliche Funktion. Ob ja oder nein für Stall ist egal, nur wenn beide Sensoren funktionieren, dann funktioniert auch das System, ansonsten kann man die verbleibenden 2% zwar in eine Richtung auslegen (UND bzw. ODER),
riskiert aber so oder so eine Fehlfunktion, die Du auszählst.
Bei den drei Sensoren A, B und C ist es mit dem Zählen der günstigen Fälle wegen dem Mehrheitsentscheid nicht so einfach:
Die Logik lautet
(A UND B) ODER (A UND C) ODER (B UND C), egal ob für Stall oder nicht Stall, De Morgan machts möglich.
Da kommst Du mit dem Zählen ins Schleudern.
Deshalb ist es einfacher, die Formel für die Binominalverteilung anzuwenden, und zwar zweimal, nämlich einmal für den Fall gut/gut/gut und einmal für gut/gut/schlecht inkl. schlect an drei Positionen,
beide liefern trotz des einen schlechten Sensors ein korrektes Ergebnis dank Mehrheitsentscheid. Also eben 0,99 hoch 3 für gut/gut/gut, das gibt 0,9703, und 3 * 0,99 hoch 2 * 0,01, da (3 über 2) = 3 ist, sieht man auch so
, welches 0,029 ergibt. Man darf addieren, die Summe ergibt besagte 0,9997.
Heißt: Zwar
reduziert (!) der dritte Sensor zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass alles funktioniert (wer hätte es gedacht, was da ist, kann kaputtgehen), ABER da auch alle gut/gut/schlecht dank des Mehrheitsentscheids (siehe UND/ODER oben) ein richtiges Ergebnis liefern,
erhöht sich trotzdem die Wahrscheinlichkeit, dass das System ein sicher richtiges Ergebnis liefert, von 98% auf 99,97%. Die übrigen 0,03% können auch zufällig das richtige Ergebnis liefern, nur verlassen sollte man sich darauf nicht, genau so wenig wie auf die 2% bei den nur zwei Sensoren.
Ist etwas kompliziert, aber hope this helps.
[/Mathe_Gefahr]
P.s.: Und nein, ich komm jetzt nicht mit Hypothesentests
